题目

设函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(1)=1/2,f(x+2)=f(x)+f(2),则f(5)=?
若f(x)是奇函数,且在（-∞,0)是增函数,又f(-2)=o,则不等式xf(x)＜0的解集是?

提问时间：2021-03-18

答案

1)、奇函数f(1)=1/2,f(-1)=-1/2,f(0)=0
f(x+2)=f(x)+f(2),
f(1)=f(-1+2)=f(-1)+f(2),1/2=-1/2+f(2),f(2)=1
f(5)=f(3+2)=f(3)+f(2)=f(1+2)+1=f(1)+1+1=5/2
2）、f(x)是奇函数,且在（-∞,0)是增函数,又f(-2)=0
故x在(-∞,-2)时f(x)<0；x在(-2,0)时f(x)>0
x在(0,2)时f(x)<0；x在(2, +∞)时f(x)>0
xf(x)＜0时就是x和f(x)异号时,由上可知x在(-2,0)时f(x)>0和x在(0,2)时f(x)<0满足,
故xf(x)＜0时x在(-2,0)或 (0,2)内.