题目

二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x+3，且f（0）=-3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设圆C经过上述二次函数的图象与两坐标轴的三个交点，求圆C的方程；
（Ⅲ）设直线l₁：mx-y+2=0与（Ⅱ）中的圆C交于A，B两点，是否存在实数m，使得过点P（1，1）的直线l₂垂直平分弦AB？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

提问时间：2021-03-18

答案

（Ⅰ）设f（x）=ax²+bx+c，（a≠0），
则由f（0）=-3，得c=-3，
f（x+1）-f（x）=a（x+1）²+b（x+1）-（ax²+bx）=2ax+a+b=2x+3，
∴

2a＝2 a+b＝3

，解得a=1，b=2，
∴f（x）=x²+2x-3．
（Ⅱ）设所求圆的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
令y=0，得x²+Dx+F=0，
这与x²+2x-3=0是同一个方程，
∴D=2，F=-3，
令x=0，得y²+Ey+F=0，此方程有一个根为-3，代入得出E=2，
∴圆C的方程为x²+y²+2x+2y-3=0，
即（x+1）²+（y+1）²=5．
（Ⅲ）把直线mx-y+2=0，即y=mx+2，代入圆C的方程，
消去y，整理得（m²+1）x²+（6m+2）x+5=0，
由于直线mx-y+2=0交圆C于A，B两点，
故△=4（3m+1）²-20（m²+1）＞0，
即2m²+3m-2＞0，解得m＜-2或m＞

1

2

，（*）
设符合条件的实数m存在，
由于l₂垂直平分弦AB，故圆心C（-1，-1）必在l₂上，
∴l₂的斜率k_PC=1，而k_AB=m=-

1

kPC

，
∴m=-1不满足（*）式，
故不存在实数m，使得过点P（2，0）的直线l₂垂直平分弦AB．

（Ⅰ）设f（x）=ax²+bx+c，（a≠0），则由f（0）=-3，得c=-3，由此能求出f（x）=x²+2x-3．
（Ⅱ）设所求圆的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，令y=0，得x²+Dx+F=0，从而D=2，F=-3，令x=0，得y²+Ey+F=0，此方程有一个根为-3，代入得出E=2，由此能求出圆C的方程．
（Ⅲ）把直线mx-y+2=0，即y=mx+2，代入圆C的方程，得（m²+1）x²+（6m+2）x+5=0，由于直线mx-y+2=0交圆C于A，B两点，由△＞0得m＜-2或m＞

1

2

，设符合条件的实数m存在，解得m=-1不满足△＞0，从而不存在实数m，使得过点P（2，0）的直线l₂垂直平分弦AB．

本题考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．

考点点评：本题考查函数解析式的求法，考查圆的方程的求法，考查满足条件的实数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．