题目

若a，b，c为△ABC的三边，且关于x的方程：4x²+4（a²+b²+c²）x+3（a²b²+b²c²+c²a²）=0有两个相等的实数根，试证△ABC是等边三角形．

提问时间：2021-03-17

答案

证明：由题得，△=16（a²+b²+c²）²-4×4×3（a²b²+b²c²+c²a²）=0，
所以有，a⁴+b⁴+c⁴-a²b²-a²c²-b²c²=0，2（a⁴+b⁴+c⁴-a²b²-a²c²-b²c²）=0，
得到（a²-b²）²+（b²-c²）²+（c²-a²）²=0，
所以a²-b²=0且b²-c²=0且c²-a²=0，即有a=b=c．
所以△ABC是等边三角形．