题目

在三角形ABC中角ACB为90度D是BC延长线E事AB上一点且在BD的垂直平分线上DE交AC于F,求证E在AF的垂直平分线

提问时间：2021-03-17

答案

分析：在三角形ABC中过点E作EG垂直AB,BD的垂直平分线交BD于H.
求证E在AF的垂直平分线等价于求证EG垂直平分AF即EG平分AF
证明三角形AEG全等于三角形FEG即可.（AAS）
（角A=角EFG,直角相等,共边EG相等）
要证明三角形AEG全等于三角形FEG证明角A=角EFG即可.
证明：
由角ACB为90度即AC垂直BD与BD的垂直平分线BH垂直BD（共线上的垂线平行）得
角A=角BEH,角EFG=角DEH
由BD的垂直平分线BH平分角BDE得角BEH=角DEH =角EFG
又因为角A=角BEH（已证）,所以角A=角EFG
再证明三角形AEG全等于三角形FEG即可得AH=FH即EG平分AF
又因为EG垂直AB
所以EG垂直平分AF即E在AF的垂直平分线