题目

关于高数(一)中二重积分的计算问题
1.求由平面x=0 y=0 x+y=1 所围成的柱体被平面z=0及抛物面x^2+y^2=6-z截得的立体的体积
2.计算由四个平面x=0 y=0 x=1 y=1所围成的柱体被平面z=0 2x+3y+z=6截得的立体的体积
难点:我不知道该如何处理z这一变量,若是只含有x y两个变量的问题倒是不难,希望有清楚的朋友帮帮忙,万分感激!
两道题很类似,一个解不出另一个也没戏!
希望朋友们倾囊相助~

提问时间：2021-03-16

答案

利用二重积分计算体积,就是二重积分的几何意义,把立体看作是一个曲顶柱体,曲顶是一个曲面z＝f(x,y),底面是xy坐标面上的闭区域D,则体积V＝∫∫(D)f(x,y)dxdy.
图形不一定要画,主要是分析出曲顶和底面.
1、柱体的母线平行于z轴,所以柱体被平面z＝0和抛物面x^2+y^2=6-z截得的立体就是一个曲顶柱体,底面就是柱体的准线x=0,y=0,x+y=1围成的一个xy坐标面上的区域D,而曲顶就是抛物面z＝6-(x^2+y^2),所以体积
V＝∫∫(D) [6-(x^2+y^2)]dxdy＝∫(0→1)dx∫(0→1-x) [6-(x^2+y^2)]dy＝17/6
2、柱体的母线平行于z轴,所以柱体被平面z＝0和2x+3y+z＝6截得的立体就是一个曲顶柱体,底面就是柱体的准线x=0,y=0,x＝1,y＝1围成的一个xy坐标面上的区域D,而曲顶就是平面z＝6-2x-3y,所以体积
V＝∫∫(D) [6-2x-3y]dxdy＝∫(0→1)dx∫(0→1) [6-2x-3y]dy＝7/2