题目

三重积分的有哪些性质?怎么计算啊?

提问时间：2021-03-16

答案

三重积分的性质：
性质1
线性性质：
设α、β为常数,则∫∫∫[αf(x,y,z)+βg(x,y,z)]dv=α∫∫∫f(x,y,z)dv+β∫∫∫g(x,y,z)]dv.
性质2
如果空间闭区域G被有限个曲面分为有限个子闭区域,则在G上的三重积分等于各部分闭区域上三重积分的和.
性质3
如果在G上,且f(x,y,z）═1,v为G的体积,则v═∫∫∫1dv═∫∫∫dv.
性质4
如果在G上,f(x,y,z）≤φ（xyz）,则有,∫∫∫f(xyz)dv≤∫∫∫φ（x,y,z)dv,特殊地,∫∫∫f(x,y,z)dv∣≤∫∫∫f(x,y,z)dv.
性质5
设M、m分别为f(x,y,z）在闭区域G上的最大值和最小值,v为G的体积,则有mv≤∫∫∫f(x,y,z)dv≤Mv.
性质6
设函数f(x,y,z）在闭区域G上连续,v是G的面积,则在G上至少存在一个点（ζ,η,μ）使得
∫∫∫f(x,y,z)dv═f（ζ,η,μ）v
三重积分的计算方法：
1直角坐标系法
适用于被积区域Ω不含圆形的区域,且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法
⑴先一后二法投影法,先计算竖直方向上的一竖条积分,再计算底面的积分.
①区域条件：对积分区域Ω无限制；
②函数条件：f（x,y,）仅为一个变量的函数.
⑵先二后一法（截面法）：先计算底面积分,再计算竖直方向上的积分.
①区域条件：积分区域Ω为平面或其它曲面（不包括圆柱面、圆锥面、球面）所围成；
②函数条件：对f（x,y,z）无限制.
2柱面坐标法
适用被积区域Ω的投影为圆时,依具体函数设定,如设x2+y2=a2,x=asinθ,y=acosθ
①区域条件：积分区域Ω为圆柱形、圆锥形、球形或它们的组合；
②函数条件：f（x,y,z）为含有与x2+y2（或另两种形式）相关的项.
3球面坐标系法
适用于被积区域Ω包含球的一部分.
①区域条件：积分区域为球形或球形的一部分,锥面也可以；
②函数条件：f（x,y,z）含有与x2+y2+z2相关的项.