题目
求证3/2
提问时间:2021-03-15
答案
(1+1/2n)^n=1+C(n,1)*1/2n+C(n,2)*(1/2n)^2+C(n,3)(1/2n)^3+……+(1/2n)n
因为C(n,k)(1/2n)^k=(1/2)^k*C(n,k)/n^k=(1/2)^k*n!/[k!(n-k)!*n^k]
=(1/2)^k*[n(n-1)(n-2)…(n-k+1)/k!n^k]
=(1/2)^k*[1*(1-1/n)(1-2/n)…(1-(k-1)/n)]/k!
<(1/2)^k*[1*1*1…*1/k!]=(1/2)^k
因此(1+1/2n)^n<1+1/2+(1/2)^2+……+(1/2)^n=2-2*(1/2)^(n+1)<2
而(1+1/2n)^n≥1+C(n,1)*1/2n=3/2
等号当且仅当C(n,1)以后项不存在,即n≤1,即n=1时成立
因此原不等式成立3/2≤(1+1/2n)^n<2
因为C(n,k)(1/2n)^k=(1/2)^k*C(n,k)/n^k=(1/2)^k*n!/[k!(n-k)!*n^k]
=(1/2)^k*[n(n-1)(n-2)…(n-k+1)/k!n^k]
=(1/2)^k*[1*(1-1/n)(1-2/n)…(1-(k-1)/n)]/k!
<(1/2)^k*[1*1*1…*1/k!]=(1/2)^k
因此(1+1/2n)^n<1+1/2+(1/2)^2+……+(1/2)^n=2-2*(1/2)^(n+1)<2
而(1+1/2n)^n≥1+C(n,1)*1/2n=3/2
等号当且仅当C(n,1)以后项不存在,即n≤1,即n=1时成立
因此原不等式成立3/2≤(1+1/2n)^n<2
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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