题目

证明或举反例
对于在[0,+∞)上单调增的函数f(x)
a
lim [Σf(n) - ∫(0,a)f(x)dx] / [af(a)]=0
a->∞ n=0
这个命题是真命题吗?
已经发现反例了。我再去看看
a
lim [Σf(n) - ∫(0,a)f(x)dx] / [af(a)+a]=0
a->∞ n=0

提问时间：2021-03-15

答案

不要悲观,可证.∑的范围是n从0到a-1, a是个整数.
[Σf(n) - ∫(0,a)f(x)dx]=∑∫(n,n+1)f(n+1)dx-∑∫(n,n+1)f(x)dx+f(0)
=∑∫(n,n+1)[f(n+1)-f(x)]dx+f(0)