题目

一道宇宙航天-向心力题目（高一）
假设探月卫星着陆到月球表面上后经过多次弹跳才停下来,假设探月卫星第一次落到月球表面弹起后,到达最高点是离月球表面高度为h(hh)的月球卫星的运行周期为T、月球可视为半径为R的均匀球体.）
是高一期中卷上的。

提问时间：2021-03-14

答案

到达离月球表面最高点时,动能E动=1/2mV0^2,势能E势=mgh
落到月面时,能量守恒,有 E动＋E势＝E动'
故 1/2mV0^2 + mgh = 1/2mV^2
有 V=√(V0^2+2gh)
又根据条件：已知一个离月球表面距离为H(H>>h)的月球卫星的运行周期为T、月球可视为半径为R的均匀球体,有：
根据万有引力与向心力公式 F＝GMm/R^2=mV^2/R
==>月面重力加速度为g,近似有g=F/m=GM/R^2 or GM=gR^2
==>高度为H处：GMm/(R+H)^2 = mV^2/(R+H) .(1)
V = 2π(R+H)/T .(2)
联立(1)(2),有 V^2 = GM/(R+H) = [2π(R+H)/T]^2
得 GM = [(2π/T)^2]*(R+H)^3
==>月面处重力加速度g,有
gR^2 = [(2π/T)^2]*(R+H)^3 ==> g = [(2π/T)^2]*(R+H)^3/R^2
最后,将g带入V=√(V0^2+2gh)中,即可得结果～