题目

高二数学啊!椭圆与直线方面的.
已知椭圆C：4X^2+Y^2=1及直线l：Y=X+m,m∈R.（1）求直线l被椭圆C截得的弦的中点的轨迹.（2）若直线l交椭圆C于P,Q两点,且OP⊥OQ,求直线l的方程.

提问时间：2021-03-14

答案

（1）设直线l与椭圆的两个交点P(x1,y1)Q(x2,y2)
中点M（x,y）
将P、Q两点坐标带入椭圆方程,4X^2+Y^2=1
得到的两个式子相减,化简得到
直线l斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)=-4(x1+x2)/(y1+y2)=-4x/y=1
y=-4x,即为中点M的轨迹（位于椭圆内的部分）
-√5/10＜x＜√5/10
（2）将直线l的方程变为(y-x)/m=1,带入椭圆方程
4x^2+y^2=[(y-x)/m]^2,化简得：(m^2-1)y^2+2xy+(4m^2-1)x^2=0
两边同除以x^2,得：(m^2-1)(y/x)^2+2y/x+4m^2-1=0
OP⊥OQ,则y1/x1*y2/x2=(4m^2-1)/(m^2-1)=-1
m=±√10/2
l的方程y=x±√10/2