题目

若抛物线y²=ax上恒有关于直线x+y-1=0对称的两点A，B，则a的取值范围是（　　）
A. （−

4

3

提问时间：2021-03-13

答案

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因为点A和B在抛物线上，所以有y12＝ax1①
y22＝ax2②
①-②得，y12−y22＝a(x1−x2)．
整理得

y1−y2

x1−x2

＝

a

y1+y2

，
因为A，B关于直线x+y-1=0对称，所以k_AB=1，即

a

y1+y2

＝1．
所以y₁+y₂=a．
设AB的中点为M（x₀，y₀），则y0＝

y1+y2

2

＝

a

2

．
又M在直线x+y-1=0上，所以x0＝1−y0＝1−

a

2

．
则M（1−

a

2

，

a

2

）．
因为M在抛物线内部，所以y02−ax0＜0．
即

a2

4

−a(1−

a

2

)＜0，解得0＜a＜

4

3

．
所以a的取值范围是（0，

4

3

）．
故选C．