题目

（希望有人回答,追加）设F1、F2为椭圆的两个焦点,A为椭圆上的点,若已知向
设 F1、F2 为椭圆的两个焦点,A为椭圆上的点,若已知 向量AF2·向量F1F2 =0 ,且sin∠AF1F2= 1/3,则椭圆的离心率为__________.
希望有人回答,越详细越好,.希望有人回答.

提问时间：2021-03-12

答案

（题目中的椭圆还未定型,焦点在x轴还是在y轴上还不知道,可能焦点还不在坐标轴上?说白了是直角坐标系没有确定,解答题当中的话,要想设其标准方程,需要先建系,写上：依题意,以F1F2中点O为原点,直线F1F2为x轴,过O点垂直于F1F2的直线为y轴做平面直角坐标系,如图所示,然后随便画个图应付一下.不过这是解答题才这么做的.然后根据椭圆定义,可以直接设出标准方程.
但这题可以直接走椭圆的定义,也好理解一些,计算也比较简便吧）
∵向量AF2·向量F1F2 =0
∴AF2⊥F1F2
∴△AF2F1一定是直角三角形
∵sin∠AF1F2= 1/3,可设|AF2|=x,|AF1|=3x（其中x是比例常数）
∴由勾股定理,|F1F2|=2√2x （2√2为2根号2）
∴椭圆的半焦距c=√2x
设椭圆的长轴长为2a,∵A在椭圆上
∴根据椭圆定义,2a=|AF1|+|AF2|=4x,所以半长轴长为a=2x
∴椭圆离心率e=c/a=√2x/2x=√2/2
其实是填空题,不用写那么多废话,直接简单算算就可以了.
根据算出的答案可以说明在题目条件下,确定下来的椭圆的形状是确定的,无论这个椭圆是不是标准椭圆,其离心率都是唯一的.