题目

求几道微分方程的解法
1 微分方程y^t+4xy=0 的通解
2 微分方程y^t^t+y^t-2y=3 的通解
3 求函数u=f(x^2+y^2,e^x)的全微分du
4 求解微分方程dy/dx=x+y+-1/x+4y+2
修改下，第四题是
4 求解微分方程dy/dx=(x+y-1)/(x+4y+2)

提问时间：2021-03-11

答案

y^t是y'吗
1.y'+4xy=0
dy/dx = -4xy
dy/y = -4xdx
积分得lny = -2x² + C
即y = Ce^(-2x²)
2.y''+y'-2y=3
特征方程是y²+y-2=0
特征根是-2,1
y''+y'-2y=0的通解是y = C1 e^(-2x) + C2 e^(x)
y''+y'-2y=3的通解是y = C1 e^(-2x) + C2 e^(x) - 3/2
3.记s=x²+y²,t=e^x,即s是f的第一个变量,t是f的第二个变量
则du = f's ds + f't dt
其中ds = ∂s/∂x dx+ ∂s/∂y dy = 2xdx + 2ydy
dt = ∂t/∂x dx = e^xdx
即du = f's (2xdx+2ydy) + f't e^xdx = (2xf's + e^x f't)dx + 2yf's dy
4.那个是加-1/x?还是-1/(x+4y+2)?