题目

设A为n阶可逆矩阵,E为n阶单位矩阵,刚A-1[A,E]= _______
设A为n阶可逆矩阵，E为n阶单位矩阵，则A-1[A,E]= _______
-1应该是上标的，表示求逆阵

提问时间：2021-03-11

答案

按分块矩阵的乘法 A^-1[A,E] = [ A^-1 A,A^-1 E] = [ E,A^-1 ].(*)
教材中有这样的结论:n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以表示成有限个初等矩阵的乘积.
当A可逆时,其逆矩阵A^-1 也是可逆的.
所以A^-1可以表示成初等矩阵的乘积:A^-1 = P1P2...Ps.Pi是初等矩阵.
代入(*)式得
P1P2...Ps [A,E] = [ E,A^-1 ].
教材中有这样的结论:初等矩阵左乘一个矩阵,相当于对此矩阵实施一次相应的初等行变换.
所以 P1P2...Ps [A,E] = [ E,A^-1 ] 相当于 对[A,E] 实施一系列初等行变换,
当左边子块化成单位矩阵时,右边子块就是矩阵A的逆!