题目

注：^后是次方,会用括号标识,内是下标.
1.已知数列{a}的前五项依次是0,-(1/3),-(1/2),-(3/5),-(2/3).正数数列{b}的前n项和为S,且S=1/2(b+n/b).（1）写出符合条件的数列{a}的一个通项公式；（2）求S的表达式；（3）在（1）、（2）的条件下,c=2,当n≥2时,设c=-1/[a(S^2)],T是数列{c}的前n项和,且T＞log(1-2m)恒成立,求实数m的取值范围.
2.设A={(n,b)丨b=3^n+k^n,n∈N*},其中k为常数,且k∈N*,B={n,c)丨c=5^n,n∈N*},求A∩B.
3.设函数f(x)=(2x+3)/3x(x＞0),数列{a}满足a=1,a=f(1/a)(n∈N*,且n≥2).（1）求数列{a}的通项公式；（2）设T=aa-aa+aa-aa+……+(-1)^(n-1)aa,若T≥t(n^2)对n∈N*恒成立,求实数t的取值范围；（3）是否存在以a为首项,公比为q(0＜q＜5,q∈N*)的数列{a},k∈N*,使得数列{a}中每一项都是数列{a}中不同的项,若存在,求出所有满足条件的数列{n}的通项公式；若不存在,说明理由.
请尽量多做一些,

提问时间：2021-03-10

答案

1、0,-(1/3),-(1/2),-(3/5),-(2/3)
(1)a(1)=0,a(2)=-1/3,a(3)=-2/4,a(4)=-3/5,a(5)=-4/6
a(n)=-(n-1)/(n+1)
(2)b(n)=S(n)-S(n-1)=1/2(b(n)+n/b(n)),---》(b(n))^2=n-->b(n)=√n
S(n)=1/2(b(n)+n/b(n))=((b(n))^2+n)/2b(n)=n/b(n)=√n
(3)c(n)=-1/[a(S^2)]=-1/[((n-1)/(n+1)) * n]=(n+1)/[n(n-1)]=2/(n-1)-1/n (n≥2)
T(n)=c(1)+c(2)+...+c(n)
=2+(2/1-1/1)+(2/(3-1)-1/3)+...+2/(n-1)-1/n
=2+2-1+1-1/3+2/3-1/4+2/4-1/5+.+2/(n-1)-1/n
=2+1/3+1/4+1/5+.+1/(n-1)-1/n≥2
T(n)>log(m)(1-2m)
log(m)(1-2m)m^2,-->0√2-1.所以 m>1
所以m的值范围为是(0.√2-1)∪(1,+∞)