题目

植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为______（米）．

提问时间：2021-03-04

答案

记公路一侧所植的树依次记为第1颗、第2颗、第3颗、…、第20颗
设在第n颗树旁放置所有树苗，领取树苗往返所走的路程总和为f（n） （n为正整数）
则

1

2

f（n）=[10+20+…+10（n-1）]+[10+20+…+10（20-n）]
=10[1+2+…+（n-1）]+10[1+2+…+（20-n）]
=5（n²-n）+5（20-n）（21-n）
=5（n²-n）+5（n²-41n+420）
=10n²-210n+2100，
∴f（n）=20（n²-21n+210），相应的二次函数图象关于n=10.5对称，
结合n为整数，可得当n=10或11时，f（n）的最小值为2000米．
故答案为：2000