题目

已知直线l:2mx-y-8m-3=0和圆C:x2=y2-6x=12y+20=0
(1)试证：不论m为何实数,直线l于圆C总相交
（2）m为何值时，l被圆C截得的弦长最小？并求出这个最小值

提问时间：2021-03-04

答案

(1)
2mx-y-8m-3=0
2m(x-4)-y-3=0
由题目易知,直线l过一定点P(4,-3)
将定点P(4,-3)代入圆方程左式:x^2+y^2-6x+12y+20中,得
4^2+(-3)^2-6*4+12*(-3)+20 = -15 < 0
说明定点P(4,-3)在圆C内部.
所以,不论m为何实数,直线l与圆总相交.
证毕.
2.将圆方程化为标准形式得:
(x-3)^2 + (y+6)^2 = 5^2
易知,圆心为O(3,-6),半径为r＝5
要使截得的弦长最短,根据数形结合,易知,当点P(4,-3)为相交弦中点时所截得弦长最短.
因弦心距|OP| = √[(3-4)^2+(-6+3)^2] = √10
所以所截得最短弦长为 d = 2√(25-10) = 2√15
而此时弦所在的直线斜率为
k = -1/k' = -1/3
即 2m = -1/3
所以m = -1/6
综上,知,m = -1/6时,l被圆C截得弦最小,最小值为2√15