题目

(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=(x+5)(x+6)(x+7)求X等于几?

提问时间：2021-03-04

答案

首先,等式两边不能同时为0..
而且x为整数..
证明很简单..
若x是实数,不是整数,设x的小数部分为k,整数部分x-k=m,
则左侧为[(m-1)+k][(m-2)+k][(m-3)+k][(m-4)+k]=整数+k*整数+k^2*整数+k^3*整数+k^4,而右侧为[(m+5)+k][(m+6)+k][(m+7)+k]=整数+k*整数+k^2*整数+k^3,左侧有k^4,而右侧无此项..因此k^4=0,即k=0..
这样,x为整数,且左右两边都不等于0..
左侧为相邻4个数连乘,则有且仅有一个数能被4整除,还有一个数能被2整除,有一个或2个数能被3整除..这样,左侧4个数的乘积一定是24的倍数..
右侧3个数种有且仅有一个数能被3整除..这样,它一定是3的倍数..
右侧3个数的乘积是24的倍数(24/3=8),则中间数是8的倍数,或者前后两个数中一个是2的倍数,一个是4的倍数..
1)若x+6为8的倍数,设x=8k-6,
有(8k-7)(8k-8)(8k-9)(8k-10)=(8k-1)8k(8k+1),
则(8k-7)(k-1)(8k-9)(8k-10)=(8k-1)k(8k+1),
由于k和k+1互质,则(8k-1)(8k+1)=64k^2-1是k-1的倍数..
(64k^2-1)=(k-1)(64k+64)-63,无法整除,因此无解..
2)则一定有x+6为奇数..x为奇数,设x=2k+1,
有2k(2k-1)(2k-2)(2k-3)=(2k+6)(2k+7)(2k+8),
k(2k-1)(k-1)(2k-3)=(k+3)(2k+7)(k+4),
这样,左边-右边=4k^4-14k^3-10k^2-76k-84=0,
分解因式,有(k+1)(4k^3-18k^2+8k-84)=0,
因此k=-1为一根,此时x=-1..
若4k^3-18k^2+8k-84=0,
首先,k