题目

请证明一下摩莱三角形,

提问时间：2021-03-03

答案

AE CE交E
BD CD交D
AF BF交F 记A=3α,B=3β,C=3γ,AE=m,AF=n,△ABC的三边长为a、b、c．
由于3α+3β+3γ=180°．
所以α+β+γ=60°．α+β=60°-γ
而nsin(α+β)=csinβ
所以n=csinβ/sin(α+β)=csinβ/sin(60-γ)
类似地m=bsinγ/sin(60-β)
在△ABC中有bsin3γ=csin3β,
从而
m/n
=(sin3β*sinγ*sin(60-γ))/(sin3γ*sinβ*sin(60-β))
=(sin(60+β))/(sin(60+γ))
由于α+β+γ=60°．
所以存在以60°+β,60°+γ和α为内角的三角形,
夹α角的两边之比为 (sin(60+β))/(sin(60+γ))=m/n
△EAF与这三角形相似,
从而 ∠AFE=60°+β ∠AEF=60°+γ
同法可证∠BFD=60°+α,
而 ∠AFB=180°-(α+β)
因此 ∠EFA+∠AFB+∠BFD=(60°+β)+(180°-α-β)+(60°+α)=300°
所以∠DFE=60°．
类似地,△DEF的另两个内角也为60°． 因此△DEF是等边三角形．