题目

已知关于x的方程mx^2-[3m-1]x+m-2=0
1}求证：无论m取任何实数时,方程恒有实数根.
{2}若关于x的二次函数y=mx^2-[3m-1]x+m-2的图像与x的轴两交点间的距离为2时,求抛物线的解析式.

提问时间：2021-03-03

答案

{1}
当m=0,x=（m-2）/（3m-1）=2
当m0,x1={(3m-1)+sqrt[(3m-1)*(3m-1)-4m(m-2)]}/2m,
x2={(3m-1)+sqrt[(3m-1)*(3m-1)-4m(m-2)]}/2m……sqrt为开平方根
因为m0,(3m-1)(3m-1)-4m(m-2)=5m*m+2m+1=5(m+0.2)*(m+0.2)+0.8>=0.8
所以m0时,x有实数根
所以m取任何实数时,方程恒有实数根
{2}
因为关于x的二次函数,所以m0
|x2-x1|=2 =>sqrt[(3m-1)*(3m-1)-4m(m-2)]/|m|=2
=> (3m-1)*(3m-1)-4m(m-2)=4m*m
=> 5m*m+2m+1=4m*m
=> m*m+2*m+1=0
=> m=-1
=> y=(-1)*x*x-[3*(-1)-1]x+(-1)-2=-x*x-4*x-3