题目

已知f（x）=3^2x-（k+1）3^x+2，当x∈R时，f（x）恒为正值，则k的取值范围是（　　）
A. （-∞，-1）
B. （-∞，2

2

-1）
C. （-1，2

2

-1）
D. （-2

2

-1，2

2

-1）

提问时间：2021-02-28

答案

令3^x=t （t＞0），
则g（t）=t²-（k+1）t+2，
若x∈R时，f（x）恒为正值，
则g（t）=t²-（k+1）t+2＞0对t＞0恒成立．
∴

k+1 2 ＞0 (k+1)2−8＜0

  ①
或

k+1 2 ≤0 g(0)＝2＞0

    ②
解①得：-1＜k＜-1+2

2

；
解②得：k≤-1．
综上，实数k的取值范围是（-∞，2

2

-1）．
故选：B．

令3^x=t 换元后分对称轴大于0和小于等于0分类讨论，当对称轴大于0时直接由判别式小于0求解，当对称轴小于等于0时则需要g（0）＞0，求得k的取值范围后取并集得答案．

本题考点：函数恒成立问题．

考点点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，训练了利用“三个二次”求解参数的取值范围，是中档题．