题目

用一个反三角函数值表示arcsin5/13+arccos(-3/5)

提问时间：2021-02-27

答案

因为arcsinx的值域是(-π/2,π/2)；arccosx的值域是[0,π]
设α=arcsin5/13＞0所以0＜α＜π/2,所以sinα=5/13,cosα=√(1-sin^2α)=12/13；
设β=arccos(-3/5)＜0所以π/2＜β＜π,所以sinβ=√(1-cos^2β)=4/5,cosβ=-3/5；
而cos(arcsin5/13+arccos(-3/5))=cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-36/65+12/65=-24/65
因为5/13＜√2/2,所以arcsin5/13＜arcsin(√2/2)=π/4,
因为-3/5＞√2/2所以arccos(-3/5)＜arccos(√2/2)=3π/4；
所以arcsin5/13+arccos(-3/5)=arccos(-24/65)