题目

从1-1994这些数中最多可以取多少个数 使这些数中任意两数的差都不是9

提问时间：2021-02-27

答案

这些整数都可写成18k+i的形式(1≤i≤18,k≥0,i∈Z,k∈Z)
即：18k+1,18k+2,18k+3,18k+4,18k+5,18k+6,18k+7,18k+8,18k+9,
18k+10,18k+11,18k+12,18k+13,18k+14,18k+15,18k+16,18k+17,18k+18
对于任意2个数a=18k[1]+i[1]和b=18k[2]+i[2]
a-b=18(k[1]-k[2])+(i[1]-i[2])
若k[1]=k[2],根据mod(i,9)(i对9求余)可知,一个k对应的18个数中,最多只能取到9个数,两两之差不等于9；
这里不妨取1≤i≤9,则|i[1]-i[2]|<9
i取定后,若k[1]≠k[2],则：|a-b|=|18(k[1]-k[2])+(i[1]-i[2])|>18-9=9
所以这些数两两差不为9
因此,按以上取法可取得最多的数,以满足条件.
由18k+9≤1994,得：0≤k≤110
且k=111时,18k+1=1999>1994
所以k可取111个,每个k对应9个数
即最多可取111*9=999个