题目
在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,BC=6cm,AB的垂直平分线交BC于M,交AB于E,AC的垂直平分线交BC于N,交AC于F.求证:BM=MN=NC.
提问时间:2021-02-26
答案
证明:连接AM、AN,
在△ABC中,∠A=120°,AB=AC,
∴∠B=∠C=30°,
又∵ME、NF分别垂直平分AB、AC,
∴AM=BM,AN=NC,
∴∠MBA=∠MAB=30°,∠NAC=∠NCA=30°,
∴∠MAN=60°,
在△ABM和△ANC中,
∵
,
∴△ABM≌△ANC,
∴AM=AN,
△AMN为等边三角形,
∴AM=MN=AN,
∴BM=MN=NC.
在△ABC中,∠A=120°,AB=AC,
∴∠B=∠C=30°,
又∵ME、NF分别垂直平分AB、AC,
∴AM=BM,AN=NC,
∴∠MBA=∠MAB=30°,∠NAC=∠NCA=30°,
∴∠MAN=60°,
在△ABM和△ANC中,
∵
|
∴△ABM≌△ANC,
∴AM=AN,
△AMN为等边三角形,
∴AM=MN=AN,
∴BM=MN=NC.
连接AM、AN,根据线段垂直平分线性质推出BM=AM,CN=AN,根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠BAM=∠CAN,∠B=∠C,根据ASA证△BAM≌△CAN,推出AM=AN,证出△AMN是等边三角形即可.
线段垂直平分线的性质;等边三角形的判定与性质.
本题综合考查了全等三角形的性质和判定,线段的垂直平分线定理,等边三角形的性质和判定,三角形的内角和定理等知识点的应用,通过做此题能培养学生综合运用定理进行推理的能力,题型较好,难度适中,综合性比较强.
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