题目

已知函数f﹙X﹚＝1／3aX²－bX－lnX,其中a,b∈R.
﹙1﹚当a＝3,b＝﹣1时,求函数f﹙X﹚的最小值.
﹙2﹚若曲线y＝f﹙x﹚在点﹙e,f﹙e﹚﹚处的切线方程为2x﹣3y﹣e＝0,求a,b的值.
﹙3﹚当a＞0,且a为常数时,若函数h﹙x﹚＝x[f﹙x﹚＋lnx]对任意的x1＞x2≥4,总有h﹙x1﹚－h﹙x2﹚／x1－x2＞﹣1成立,试用a表示出b的取值范围.

提问时间：2021-02-24

答案

1、当条件成立,f(x)=X²+x-Inx（x＞0）
求导后可变成g(X)=2x+1-1x=（2X²+x-1)x,之后根据单调求出f(x)min=f(12)=34+In2
2、先代入点﹙e,f﹙e﹚﹚,得f(e)=13ae^2-be-1
之后求导后再代入点﹙e,f﹙e﹚﹚,得23ae-b-1e=23
且2e-e=3f(e)
从而解出a=1e b=-1e
3、h(x)=13ax^3-bx^2(x>0)
h﹙x1﹚－h﹙x2﹚／x1－x2＞﹣1变成h﹙x1﹚－h﹙x2﹚
变成h﹙x1﹚+x1>h﹙x2﹚+x2
所以构造函数g(X)=h(X)+x,那么对于x>=4时,g(x）是单调递增函数.
即g(x)=13ax^3-bx^2+x是单调递增函数,求导后aX²-2bx+1>=0(x>=4)
因为a>0,开口向上.
所以解出当b^