题目

问一道对数函数题
已知函数f(x)=loga(x+1)(a>1),若函数y=g(x)图像上任意一点P关于原点对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图像.
（1）写出函数g(x)的解析式；
（2）当x∈[0,1)时总有f(x)+g(x)≥m成立,求m的取值范围.
请写的清楚点 用∵ ∴连接

提问时间：2020-11-21

答案

（1）设P（x,y)是函数y=g(x)图象上的任意一点
则P关于原点的对称点Q的坐标为（-x,-y)
∵已知点Q在函数f(x)的图像上
∴ -y=f(-x),而f(x)=loga(x+1)
∴ -y=loga(-x+1)
∴y=-loga(-x+1)
而P（x,y)是函数y=g(x)图象上的点
∴y=g(x)=-loga(-x+1)=-loga(1-x)
（2）当x∈[0.1]时,
f(x)+g(x)=loga(x+1)-loga(1-x)
=loga[（1+x）/(1-x)]
下面求当x∈[0.1]时,f(x)+g(x)的最小值
令（1+x）/(1-x)=t,求得x= (t-1)/(t+1)
∵x∈[0.1]
∴ 0≤x≤1
即0≤(t-1)/(t+1)≤1,解得t≥1
∴ （1+x）/(1-x)≥1,又a>1
∴ loga[（1+x）/(1-x)])≥loga1=0
∴ f(x)+g(x)≥0
∴ 当x∈[0.1]时,f(x)+g(x)的最小值为0
∵ 当x∈[0.1]时,总有f(x)+g(x)≥m成立
∴ m≤0
∴所求m的取值范围：m≤0