题目

少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x₁，只显示不运算，接着再输入整数x₂后则显示|x₁-x₂|的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算，现小明将从1到1991这一千九百九十一个整数随意地一个一个地输入，全部输入完毕之后显示的最后结果设为p．试求出p的最大值 ___ ，并说明理由．

提问时间：2021-02-24

答案

由于输入的数都是非负数．当x₁≥0，x₂≥0时，|x₁-x₂|不超过x₁，x₂中最大的数．对x₁≥0，x₂≥0，x₃≥0，则||x₁-x₂|-x₃|不超过x₁，x₂，x₃中最大的数．小明输入这1991个数设次序是x₁，x₂，x₁₉₉₁，相当于计算：||||x₁-x₂|-x₃|-x₁₉₉₀|-x₁₉₉₁|=P．因此P的值≤1991．
另外从运算奇偶性分析，x₁，x₂为整数．
|x₁-x₂|与x₁+x₂奇偶性相同．因此P与x₁+x₂+…+x₁₉₉₁的奇偶性相同．
但x₁+x₂+…+x₁₉₉₁=1+2+1991=偶数．于是断定P≤1990．我们证明P可以取到1990．
对1，2，3，4，按如下次序|||1-3|-4|-2|=0．
|||（4k+1）-（4k+3）|（4k+4）|-（4k+2）=|0，对k=0，1，2，均成立．因此，1-1988可按上述办法依次输入最后显示结果为0．而后||1989-1990|-1991|=1990．
所以P的最大值为1990．
故答案为：1990．