题目

关于相似三角形的题
如图,四边形ABCD中,AD=CD,∠DAB=∠ACB=90°,过点D作DE⊥AC,垂足为F,DE与AB相交于点E.
(1)求证:AB*AF=CB*CD
(2)已知AB=15cm,BC=9cm,P是射线DE上的动点.设DP=x(cm)(x＞0),四边形BCDP的面积为y(cm).
①求y关于x的函数关系式
②当x为何值时,△PBC的周长最小,求出y.

提问时间：2021-02-23

答案

证明：（1）∵AD=CD,DE⊥AC,
∴DE垂直平分AC,
∴AF=CF,∠DFA=DFC=90°,∠DAF=∠DCF．
∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°,∠CAB+∠B=90°,
∴∠DCF=∠DAF=∠B．
在Rt△DCF和Rt△ABC中,∠DFC=∠ACB=90°,∠DCF=∠B,
∴△DCF∽△ABC．
∴ CD/AB=CF/CB,即 CD/AB=AF/CB．
∴AB•AF=CB•CD．
（2）①∵AB=15,BC=9,∠ACB=90°,
∴AC= 12　(勾股定理)
∴CF=AF=6
∴ y=12(x+9)×6=3x+27（x＞0）
②∵BC=9（定值）,
∴△PBC的周长最小,就是PB+PC最小．
由（1）可知,点C关于直线DE的对称点是点A,
∴PB+PC=PB+PA,故只要求PB+PA最小．
显然当P、A、B三点共线时PB+PA最小．
此时DP=DE,PB+PA=AB．
由（1）,∠ADF=∠FAE,∠DFA=∠ACB=90°,
△DAF∽△ABC．
EF∥BC,得AE=BE= 1/2AB= 15/2,
EF= 9/2．
∴AF：BC=AD：AB,即6：9=AD：5．
∴AD=10．
Rt△ADF中,AD=10,AF=6,
∴DF=8．
∴DE=DF+FE=8+ 9/2= 25/2．
∴当x= 25/2时,△PBC的周长最小,
此时y= 129/2