题目
设点P在曲线y=
ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|最小值为( )
A. 1-ln2
B.
(1-ln2)
C. 1+ln2
D.
(1+ln2)
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A. 1-ln2
B.
2 |
C. 1+ln2
D.
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提问时间:2021-02-22
答案
∵函数y=
ex与函数y=ln(2x)互为反函数,图象关于y=x对称,
函数y=
ex上的点P(x,
ex)到直线y=x的距离为d=
,
设g(x)=
ex-x(x>0),则g′(x)=
ex-1,
由g′(x)=
ex-1≥0可得x≥ln2,
由g′(x)=
ex-1<0可得0<x<ln2,
∴函数g(x)在(0,ln2)单调递减,在[ln2,+∞)单调递增,
∴当x=ln2时,函数g(x)min=1-ln2,
dmin=
,
由图象关于y=x对称得:|PQ|最小值为2dmin=
(1-ln2).
故选B.
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函数y=
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设g(x)=
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由g′(x)=
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由g′(x)=
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∴函数g(x)在(0,ln2)单调递减,在[ln2,+∞)单调递增,
∴当x=ln2时,函数g(x)min=1-ln2,
dmin=
1-ln2 | ||
|
由图象关于y=x对称得:|PQ|最小值为2dmin=
2 |
故选B.
由于函数y=
ex与函数y=ln(2x)互为反函数,图象关于y=x对称,要求|PQ|的最小值,只要求出函数y=
ex上的点P(x,
ex)到直线y=x的距离为d=
的最小值,
设g(x)=
ex−x,利用导数可求函数g(x)的单调性,进而可求g(x)的最小值,即可求
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设g(x)=
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点到直线的距离公式;反函数.
本题主要考查了点到直线的距离公式的应用,注意本题解法中的转化思想的应用,根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离,构造很好
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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