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题目
设点P在曲线y=
1
2
ex
上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|最小值为(  )
A. 1-ln2
B.
2
(1-ln2)

C. 1+ln2
D.
2
(1+ln2)

提问时间:2021-02-22

答案
∵函数y=
1
2
ex
与函数y=ln(2x)互为反函数,图象关于y=x对称,
函数y=
1
2
ex
上的点P(x,
1
2
ex)
到直线y=x的距离为d=
|
1
2
ex-x|
2

设g(x)=
1
2
ex-x
(x>0),则g(x)=
1
2
ex-1

g(x)=
1
2
ex-1
≥0可得x≥ln2,
g(x)=
1
2
ex-1
<0可得0<x<ln2,
∴函数g(x)在(0,ln2)单调递减,在[ln2,+∞)单调递增,
∴当x=ln2时,函数g(x)min=1-ln2,
dmin=
1-ln2
2

由图象关于y=x对称得:|PQ|最小值为2dmin=
2
(1-ln2)

故选B.
由于函数y=
1
2
ex
与函数y=ln(2x)互为反函数,图象关于y=x对称,要求|PQ|的最小值,只要求出函数y=
1
2
ex
上的点P(x,
1
2
ex)
到直线y=x的距离为d=
|
1
2
ex−x|
2
的最小值,
设g(x)=
1
2
ex−x
,利用导数可求函数g(x)的单调性,进而可求g(x)的最小值,即可求

点到直线的距离公式;反函数.

本题主要考查了点到直线的距离公式的应用,注意本题解法中的转化思想的应用,根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离,构造很好

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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