题目

抛物线y=ax2-5ax+4经过△ABC的三个顶点,已知BC∥x轴,点A在x轴上,点C在y轴上,且AC=BC．
若点p为x轴上的一个动点,是否存在△pab是等腰三角形,若存在,求出所有符合条件的点p坐标,若不存在,请说明理由

提问时间：2021-02-22

答案

由题意设点A的坐标为（m,0）,B的坐标为（n,q）,则点C的坐标为（0,q）.
则把点C坐标代入抛物线y=ax2-5ax+4中,则得p=4
当y=0时,则有ax(x-5)=0 x=0,x=5 所以n=5
又因为AC=BC
所以m^2+q^2=n^2 即m^2+16=25 所以m=3
把点A的坐标代入抛物线中得：9a-15a+4=0 即a=2/3
所以抛物线为y=2/3x^2-10/3x+4 点A、B、C的坐标分别为（3,0）、（5,4）、（0,4）
设存在△pab是等腰三角形,由题意设点p的坐标为（z,0）,则
PA^2=(3-Z)^2 PB^2=16+(5-Z)^2 AB^2=(5-3)^2+16=20
当PA=PB时,则(3-Z)^2=16+(5-Z)^2 解得z=8
当PA=AB时,则(3-Z)^2=20 解得z=3+2√5或z=3-2√5
当PB=AB时,则16+(5-Z)^2=20 解得z=3（舍去）或z=7
综所述,存在△pab是等腰三角形,满足条件的点p的坐标分别为(8,0)、(3+2√5,0)、(3-2√5,0)和(7,0).
如有问题,