题目

满足x方-4xy+6y方-4x-4y+6=0的正整数对(x,y)

提问时间：2021-02-21

答案

把原方程看做是关于x的一元二次方程,整理得：
x^2 -4(y+1)x +(6y^2 -4y+6) =0
这个方程需有正整数根,因此其判别式：
△=16(y+1)^2 -4(6y^2 -4y+6)= -8(y^2 -6y+1) ≥0
即：y^2 -6y+1 ≤0
解得：3-2*2^0.5 ≤ y ≤ 3 +2*2^0.5 （根号不好打,用2^0.5表示“根号2”了）
又因为y是正整数,因此：1≤y≤5,
把y=1,2,3,4,5分别带入原方程进行检验（这时原方程就成为纯粹的关于x的一元二次方程）,可得：
y=1,2,4,5时,相应的关于x的一元二次方程无正整数解,因此不合题意；
y=3 时,解得：x=4或12；
故综上所述可知：原方程的解形成的正整数对(x,y)为(4,3)或(12,3)