题目

高数----对曲面的积分
求圆锥面z=（x^2+y^2）^(1/2)被平面x+2z=3所截下部分的面积

提问时间：2021-02-20

答案

曲面面积为
∫∫dS = ∫∫√[1+(z'x)²+(z'y)²]dxdy,等号后面是二重积分,积分区域是所求曲面在平面xoy上的投影
z=√(x²+y²)与x+2z=3的交线在xoy上的投影是(3-x)² = 4(x²+y²)
即3(x+1)²+4y² = 12
解得y = √[3 - 3(x+1)²/4]
令x = 2cost - 1,则x的取值范围是(-3,1),dx = -2sintdt,x从-3取到1时,t从π取到0
∫∫dS = ∫∫√[1+(z'x)²+(z'y)²]dxdy
= ∫(-3,1)dx∫(-y(x),y(x))√[1+(z'x)²+(z'y)²]dy
= √2∫(-3,1)dx * 2y(x)
= 2√2∫(-3,1)dx * √[3 - 3(x+1)²/4]
= 2√2∫(π,0) (-2sint)dt * √3 sint
= -4√6∫(π,0) sin²tdt
= 2√6π