题目

已知函数f（x）的定义域为[-1，1]，若对于任意的x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，有f（x）＞0．
（1）证明：f（x）为奇函数；
（2）证明：f（x）在[-1，1]为单调递增函数．

提问时间：2021-02-19

答案

（1）令x=y=0，∴f（0）=0，
令y=-x，f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数
（2）∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数；
令-1≤x₁＜x₂≤1，
则有f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x）在[-1，1]上为单调递增函数；