题目

初等数论一题
求出所有能用a^b(a>=2 b>=2)表示的与2的n次幂（n为自然数）相邻的数

提问时间：2021-02-18

答案

解:先设a^b=2^n+1
则有a^b为奇数,所以a是奇数.
上式整理有(a-1)(a^(b-1)+a^(b-2)+..+1)=2^n
则a-1=2^p.1,a^(b-1)+..+1=2^q.2
其中p+q=n
因为a^(b-1)+...+1>1,所以,2^q为偶数.又因为2式左边一共有b项,每一项均为奇数,右边为偶数,所以,b应为偶数.(偶数个奇数相加是偶数.)
设b=2k
有a^2k=2^n+1,所以,(a^k-1)(a^k+1)=2^n
令a^k-1=2^r,a^k+1=2^s,其中r+s=n
相减得,2^s-2^r=2^r(2^(s-r)-1)=2
则必有2^(s-r)-1=1,2^r=2.所以r=1,s-r=1,s=2
所以,a^k=3.仅有a=3,b=2满足.
再设a^b=2^n-1
此时,令b=2^k*p(其中p为奇数,为了叙述方便,下面把2^k记作m)
有(a^m)^p+1=2^n.因为(a^m)^p+1=(a^m+1)((a^m)^(p-1)+.+1)=2^n
所以a^m+1=2^t(t=2.则(2^t-1)^p=2^n-1.因为此时p>=2,所以2^t-1整除2^n-1.而(2^t-1,2^n-1)=(2^t-1,2^n-2^t)=1(2^t-1为奇数,2^n-2^t为偶数)
所以与2^t-1整除2^n-1矛盾
所以,m>=2.又m=2^k为偶数,设m=2s,由3式知,(2^(t-1)-2^s)(2^(t-1)+2^s)=1
此不可能.所以有且仅有一组解:a=3,b=2.
PS:10分太少了点,加点分吧.-o-