题目

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=√6/3,过点A(0,b)和B(a,0)的直线与原点的距离为√3/2拜托各
已知定点E(-1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C、D两点,问：是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点?请说明理由.

提问时间：2021-02-18

答案

依题意,得：椭圆方程为x^2/3+y^2=1 设CD的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2) EC=(x1+1,y1),ED=(x2+1,y2),EC,ED是向量 若E在以CD为直径的圆的圆周上,则有EC*ED=0 (x1+1)(x2+1)+y1y2=0 x1x2+(x1+x2)+1+y1y2=0 x1x2+(x1+x2)+1+(kx1+2)(kx2+2) (k+1)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=0 将y=kx+2代入椭圆方程 x/3+(kx+2)=1 (1/3+k)x+4kx+3=0 x1+x2=-4k/(1/3+k),x1x2=3/(1/3+k) 代入化简得 3(k+1)-4k(2k+1)+5(1/3+k)=0 (14/3)-4k=0 k=7/6