题目

（文科）已知函数f(x)＝

1

3

ax3+bx2+2x−1，g(x)＝−x2+x+1，若函数f（x）的图象与函数g（x）的图象的一个公共点P的横坐标为1，且两曲线在点P处的切线互相垂直．
（1）求实数a，b的值；
（2）对任意x₁，x₂∈[-1，1]，不等式f（x₁）+k<g（x₂）恒成立，求实数k的取值范围．

提问时间：2021-02-18

答案

（文科） （1）∵g(1)=1=f(1)=

1

3

a+b+1⇒a+3b=0．
又g'（x）=-2x+1，∴g'（1）=-1．
∵两双曲线在点P处的切线互相垂直，
∴f'（1）=1．
∵f'（x）=ax²+2bx+2，
∴f'（1）=a+2b+2=1，
∴

a+3b=0 a+2b+1=0

⇒a=-3，b=1．
（2）∵f（x）=-x³+x²+2x-1
对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，f（x₁）+k<g（x₂）恒成立，
∴f（x）_max+k<g（x）_min（x∈[-1，1]），
∵f'（x）=-3x²+2x+2，
则f'（x）>0得

1- 7

3

<x<

1+ 7

3

，
∴函数f（x）在[-1，

1- 7

3

]上递减，在[

1- 7

3

，1]上递增
而f（-1）=-1，f（1）=1，
∴f（x）_max=f（1）=1，
而g(x)=-x2+x+1=-(x-

1

2

)2+

5

4

当x∈[-1，1]时，g（x）_min=g（-1）=1
故1+k<-1，
k<-2，
∴实数k的取值范围是（-∞，-2）．

（1）由g(1)＝1＝f(1)＝

1

3

a+b+1⇒a+3b＝0．知g'（x）=-2x+1，g'（1）=-1．由两双曲线在点P处的切线互相垂直，知f'（1）=1．由此能求出实数a，b的值．
（2）由f（x）=-x³+x²+2x-1，对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，f（x₁）+k＜g（x₂）恒成立，知f（x）_max+k＜g（x）_min（x∈[-1，1]），由f'（x）=-3x²+2x+2，知函数f（x）在[−1，

1− 7

3

]上递减，在[

1− 7

3

，1]上递增．由此能求出实数k的取值范围．

本题考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，考查论证推理能力，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．