题目

已知函数f（x）=ax+blnx+c（a，b，c是常数）在x=e处的切线方程为（e-1）x+ey-e=0，且f（1）=0．
（Ⅰ）求常数a，b，c的值；
（Ⅱ）若函数g（x）=x²+mf（x）（m∈R）在区间（1，3）内不是单调函数，求实数m的取值范围．

提问时间：2021-02-18

答案

（Ⅰ）由题设知，f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)＝a+

b

x

，
∵f（x）在x=e处的切线方程为（e-1）x+ey-e=0，
∴f′(e)＝−

e−1

e

，且f（e）=2-e，即a+

b

e

＝−

e−1

e

，且ae+b+c=2-e，
又f（1）=a+c=0，解得a=-1，b=1，c=1…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=-x+lnx+1（x＞0）
∴g（x）=x²+mf（x）=x²-mx+mlnx+m（x＞0）
∴g′(x)＝2x−m+

m

x

＝

1

x

(2x2−mx+m)(x＞0)…（7分）
令d（x）=2x²-mx+m（x＞0）．
（ⅰ）当函数g（x）在（1，3）内有一个极值时，g′（x）=0在（1，3）内有且仅有一个根，
即d（x）=2x²-mx+m=0在（1，3）内有且仅有一个根，
又∵d（1）=2＞0，当d（3）=0，即m=9时，d（x）=2x²-mx+m=0在（1，3）内有且仅有一个根x＝

3

2

，当d（3）≠0时，应有d（3）＜0，即2×3²-3m+m＜0，解得m＞9，
∴m≥9．
（ⅱ）当函数g（x）在（1，3）内有两个极值时，g′（x）=0在（1，3）内有两个根，
即二次函数d（x）=2x²-mx+m=0在（1，3）内有两个不等根，
所以

△＝m2−4×2×m＞0 d(1)＝2−m+m＞0 d(3)＝2×32−3m+m＞0 1＜ m 4 ＜3

，解得8＜m＜9．
综上，实数m的取值范围是（8，+∞）…（13分）

（Ⅰ）利用f（x）在x=e处的切线方程，可得f′(e)＝−

e−1

e

，且f（e）=2-e，f（1）=a+c=0，即可求常数a，b，c的值；
（Ⅱ）求导函数，令d（x）=2x²-mx+m（x＞0），分类讨论，建立不等式，即可求实数m的取值范围．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．