题目

如图,已知椭圆C ：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>o,b>o)的长轴AB长为4,离心率e=二分之根号三,O为坐标原点,过B
过B点的直线l与x轴垂直。P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH垂直于X轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=PQ,连接AQ延长交直线l于点M，N为MB的中点。
（1）求椭圆的方程
（2）证明Q在以AB为直径的圆上
（3）试判断直线QN与于圆O的位置关系

提问时间：2021-02-17

答案

根据题意
2a=4
a=2
e=c/a=√3/2
c=√3
b²=a²-c²=4-3=1
b=1
椭圆方程：x²/4+b²=1
(2)设点P（2cosa,sina）
则点Q（2cosa,2sina）
Kqa×Kqb=2sina/(2cosa-2)*2sina/(2cosa+2)
=4sin²a/(4cos²a-4)=sin²a/(cos²a-1)=sin²a/(-sin²a)=-1
所以AQ⊥BQ
角AQB=90度,AB为直径
证毕
（3）因为∠BQM=90度,N为BM中点
QN=NB
∠BQN=∠NBQ
∠NBQ=∠MAB(∠NBQ为弦切角,MB是切线)
所以∠BQN=∠MAB
那么QN为圆O的切线.