题目

若在椭圆上存在一点P,求椭圆离心率的取值范围
设x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两焦点分别为F1、F2,若在椭圆上存在点P,使PF⊥PF2,求椭圆离心率的取值范围

提问时间：2021-02-13

答案

【常规解法】
设P(x0,y0),
PF⊥PF2,则y0/(x0+c)•/(x0-c)=-1,y0²=c²-x0².
点P在椭圆上,则x0^2/a^2+y0^2/b^2=1,
将y0²=c²-x0²代入上式：x0^2/a^2+( c²-x0²) /b^2=1,
x0^2= a^2( c²-b²)/c^2
∵点P在椭圆上,∴0≤x0^2≤a^2
∴0≤a ^2( c²-b²)/c^2≤a^2
c²-b²≥0,c²-(a²-c²) ≥0,2c²≥a²
∴√2/2≤c/a