题目

求证：存在无穷多个互不相似的三角形,其边长a,b,c为正整数且a^2,b^2,c^2成等差数列

提问时间：2021-02-12

答案

将等差数列分解,通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形,再证明互不相似,且无穷
当an^2,bn^2,cn^2成等差数列,则bn^2-an^2=cn^2-bn^2
分解得：（bn+an）（bn-an）=（cn+bn）（cn-bn）
选取关于n的一个多项式,4n（n^2-1）做两种途径的分解4n（n^2-1）=（2n-2）（2n^2+2n）=（2n^2-2n）（2n+2）4n（n^2-1）
对比目标式,构造 {an=n^2-2n-1bn=n^2+1cn=n^2+2n-1(n≥4),等差成立
考察三角形边长关系,可构成三角形的三边．
下证互不相似．
任取正整数m,n,若△m,△n相似：则三边对应成比例
(m^2-2m-1)/(n^2-2n-1)=(m^2+1)/(n^2+1)=(m^2+2m-1)/(n^2+2n-1)
由比例的性质得：m-1/n-1=m+1/n+1⇒m=n,与约定不同的值矛盾,故互不相似