题目

是不是所有代数数都可以用根号表示?
一般五次以上方程无求根公式
但特殊的五次方程的根是不是都可以用根号表示
如不都是,那么是不是有些代数数不能用根号表示?
请举例
尽量举一个代数数为例

提问时间：2021-02-10

答案

这里只讨论整系数方程.
有理系数的,可以通过乘法化为整系数；
含有代数数的,可以通过乘方和四则运算化为有理系数；
事实上,
我们关心求根公式,实际与系数本身无关,而是与系数的组合与分布情况有关.
比方说：方程x*x=超越数e,我们仍然说他有求根公式,±√e,只是根号下为超越数.
一般五次以上方程无求根公式,是说,无法用有限次数的开方运算来求得其根.
也就是说,绝大多类别的五次以上方程所确定的代数数,不能用只有有限次数个根号的根式来表示（###）.
要举例的话,只要列出一个不能在实数域上被分解的五次方程,它所确立的五次代数数,都如(###)所说,例如:x^5+x+1=0.
对于什么样的方程能够用根式解,伽罗华基于阿贝尔的成果,建立了群论,对此已经作了很好的解决；而不符合其判定的,就是不可解的,从而所确立的代数数,就是如(###)所说的.
而用迭代法,理论上可以找到无穷级数或其他形式的精确解.不过,对于迭代或允许按某些规则进行无限次开方来求精确解,还有很多课题需要我们去研究.
比如一个简单的问题：一般的五次方程,能否通过有限次的开方与无穷级数、迭代配合起来,以最简的形式描述其解?
能用使用有限次根号的根式求根的整系数五次方程,必定可以在实数域上分解为一次多项式之积.
在有理数域上,可能分解为一次,二次,三次,四次多项式的各种积或幂.