题目

若非零函数f(x)对任意实数a.b均有f(a+b)=f(a)•f(b),且当x1,（1）求证：f(x)>0 (2)求证：f(x)为减函数　　(3)当f(4)=1／16时解不等式f(x-3)•f(6-2x)≤1／4

提问时间：2021-02-09

答案

（1）令a=0,则 f(0+b)=f(0)•f(b) 即 f(b)=f(0)•f(b),因为f(x)为非零函数,f(b)≠0,
所以f(0)=1＞0 ；
设 x＜0,则f(x)＞1＞0,且 -x＞0,
1=f(0)=f(x+(-x))=f(x)•f(-x),
所以 f(-x)=1/f(x)＞0
综上,对 x∈R,总有 f(x)>0
（2）设a＜b,则a-b＜0,f(a-b)＞1,又由（1）知,f(b)＞0,
所以f(a)-f(b)=f((a-b)+b)-f(b)=f(a-b)·f(b)-f(b)=f(b)[f(a-b)-1]＞0
所以f(x)为R上的减函数.
（3）f(4)=f(2+2)=f(2)·f(2)=1／16,因为f(x)>0,故f(2)=1/4
f(x-3)•f(6-2x)≤1/4等价于
f[(x-3)+(6-2x)]≤f(2)
由（2）知,f(x)为R上的减函数,故
(x-3)+(6-2x)≥2
解得 x≤1