题目

已知函数f（x）＝2cosωx（sinωx－cosωx）＋1（ω＞0）的最小正周期为兀.(1)求函数f(x)的图象的对称轴方程和单调递减区间.（2）若函数g(x)=f(x)-f(兀/4-x),求函数g(x)在区间［兀/8,3兀/4］上的最大值和最小值

提问时间：2021-02-08

答案

已知函数f（x）＝2cosωx（sinωx－cosωx）＋1（ω＞0）的最小正周期为兀.(1)求函数f(x)的图象的对称轴方程和单调递减区间.（2）若函数g(x)=f(x)-f(兀/4-x),求函数g(x)在区间［兀/8,3兀/4］上的最大值和最小值
(1)解析：因为,函数f（x）＝2cosωx（sinωx－cosωx）＋1（ω＞0）的最小正周期为兀
f(x)=2cosωx(sinωx－cosωx)+1=sin2ωx-cos2ωx=√2sin(2ωx-π/4)
所以,2ω=2==>f(x)=√2sin(2x-π/4)
对称轴方程：2x-π/4=kπ+π/2==>x=kπ/2+3π/8
单调递减区间：2kπ+π/2<=2x-π/4<=2kπ+3π/2==>kπ+3π/8<=x<=kπ+7π/8
(2)解析：因为,g(x)=f(x)-f(兀/4-x)=√2sin(2x-π/4)+√2sin(2x-π/4)=2√2sin(2x-π/4)
g(π/8)=2√2sin(0)=0
g(3π/4)=2√2sin(3π/2-π/4)=-2
g(3π/8)=2√2sin(2x-π/4)=2√2
所以,函数g(x)在区间［兀/8,3兀/4］上的最大值为2√2和最小值为-2