题目

已知，在△ABC中，AB=AC，点D和点E分别在AB和AC上，且AD=AE，BE和CD相交于点O．求证：点O在线段BC的垂直平分线上．

提问时间：2021-02-06

答案

证明：在△ADC和△AEB中，

AD＝AE ∠A＝∠A AC＝AB

，
∴△ADC≌△AEB（SAS），
∴∠ACD=∠ABE．
∵AB=AC，AD=AE，
∴BD=CE．
在△BOD与△COE中，

∠OBD＝∠OCE ∠BOD＝∠COE BD＝CE

，
∴△BOD≌△COE（AAS），
∴OB=OC，
∴点O在线段BC的垂直平分线上．

先由SAS得出△ADC≌△AEB，得出∠ACD=∠ABE，再根据AAS证明△BOD≌△COE，得出OB=OC，由线段垂直平分线的判定得出O在线段BC的垂直平分线上．

本题考点：等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．

考点点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定，难度适中．通过证明两套三角形全等得出OB=OC是解题的关键．