题目

设α,β是方程x的平方-（2m+1）x+m的平方+1=0的两个实根,求α的平方+β的平方的最小值

提问时间：2021-02-04

答案

判别式≥0
(2m+1)^2 - 4(m^2+1) ≥0
4m-3≥0
m≥3/4
α,β是方程x的平方-（2m+1）x+m的平方+1=0的两个实根
根据韦达定理：
α+β = 2m+1
αβ = m^2+1
α^2+β^2 = (α+β)^2-2αβ = (2m+1)^2 - 2(m^2+1) = 2m^2+4m-1=2(m+1)^2-3
当m＞-1时,α^2+β^2 = 2(m+1)^2-3单调增
m≥3/4
∴α^2+β^2最小值 = 2(3/4+1)^2-3 = 2*(7/4)^2-3 = 25/8