题目
已知二次函数f(x)=-3x2+2bx+c的图象经过原点,其对称轴方程为x=2.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当m∈[-3,+∞)时,求函数g(x)=f(x)-6(m+2)x-9在x∈[2,3]上的最大值h(m).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当m∈[-3,+∞)时,求函数g(x)=f(x)-6(m+2)x-9在x∈[2,3]上的最大值h(m).
提问时间:2021-02-03
答案
(1)二次函数f(x)=-3x2+2bx+c的图象经过原点,则c=0,
又∵二次函数的图象对称轴是直线x=2,
=2,
∴二次函数解析式为:y=-3x2+12x.
(2)g(x)=f(x)-6(m+2)x-9=-3x2-6mx-9,x∈[2,3].
配方得,g(x)=-3(x+m)2+3m2-9,
∵m∈[-3,+∞),∴-m∈(-∞,3]
①当-m<2时,m>-2时,h(m)=g(2)=-12m-21;
②当2≤-m≤3时,-3≤m≤-2时,h(m)=g(-m)=3m2-9.
综上,h(m)=
.
又∵二次函数的图象对称轴是直线x=2,
b |
3 |
∴二次函数解析式为:y=-3x2+12x.
(2)g(x)=f(x)-6(m+2)x-9=-3x2-6mx-9,x∈[2,3].
配方得,g(x)=-3(x+m)2+3m2-9,
∵m∈[-3,+∞),∴-m∈(-∞,3]
①当-m<2时,m>-2时,h(m)=g(2)=-12m-21;
②当2≤-m≤3时,-3≤m≤-2时,h(m)=g(-m)=3m2-9.
综上,h(m)=
|
(1)根据二次函数的图象经过原点,得c的值,根据图象对称轴是直线x=2,求出b值,从而得出解析式即可.
(2)根据二次函数的图象和性质,分别讨论函数的对称轴与区间[2,3]的关系,即可求出函数f(x)在[2,3]上的最大值h(m)的表达式;
(2)根据二次函数的图象和性质,分别讨论函数的对称轴与区间[2,3]的关系,即可求出函数f(x)在[2,3]上的最大值h(m)的表达式;
二次函数的性质.
本题考查的是用待定系数法求二次函数的解析式,考查二次函数在闭区间上的最值,函数单调性的性质,二次函数的图象和性质,其中在解答含有参数的二次函数问题时,判断对称轴与给定区间的范围,以此为分类标准对参数进行分类讨论,是解答的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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