题目

设平面区域满足0<y<根号下2x-x^2,0<x<1则∫∫f(x,y)dxdy在极坐标下的二重积分为什么?
答案为[∫0到π/4dθ ∫0到secθ f(rcosθ,rsinθ)rdr]+[∫π/4到π/2dθ ∫0到2cosθ f(rcosθ,rsinθ)rdr] 分从0到π/4 和π/4到π/2 而且r的区域为什么不一样啊

提问时间：2021-02-03

答案

会画图就是了
用极坐标,积分区域被y = x分开为两部分
D₁是个等腰三角形：y = 0、x = 1、y = x
D₂是个弓形：y = x,y = √(2x - x²)
化为极坐标,
D₁：θ：0→π/4,x = 1 ==> rcosθ = 1 ==> r = secθ
D₂：θ：π/4→π/2,y = √(2x - x²) ==> r² = 2rcosθ ==> r = 2cosθ

所以∫∫D f(x,y) dxdy
= ∫∫D₁ f(x,y) dxdy + ∫∫D₂ f(x,y) dxdy
= ∫(0→π/4) ∫(0→secθ) f(rcosθ,rsinθ) rdrdθ + ∫(π/4→π/2) ∫(0→2cosθ) f(rcosθ,rsinθ) rdrdθ