题目
已知直线l:y=-1,定点F(0,1),P是直线x−y+
=0上的动点,若经过点F,P的圆与l相切,则这个圆面积的最小值为( )
A.
B. π
C. 3π
D. 4π
2 |
A.
π |
2 |
B. π
C. 3π
D. 4π
提问时间:2021-01-31
答案
由题意知,圆心到点F的距离等于半径,圆心到直线l:y=-1的距离也等于半径,
圆心在以点F为焦点、以直线l为准线的抛物线上,此抛物线方程为 x2=4y.
要使圆的面积最小,只有半径(圆心到直线l的距离)最小,因为抛物线上只有点(0,0)到直线l的距离最小为1,
故圆的面积的最小值是 π×12=π,
故选 B.
圆心在以点F为焦点、以直线l为准线的抛物线上,此抛物线方程为 x2=4y.
要使圆的面积最小,只有半径(圆心到直线l的距离)最小,因为抛物线上只有点(0,0)到直线l的距离最小为1,
故圆的面积的最小值是 π×12=π,
故选 B.
由题意知,圆心圆心在以点F为焦点、以直线l为准线的抛物线上,此抛物线方程为 x2=4y,抛物线上只有点(0,0)到直线l的距离最小为1,故圆心为(0,0)时,圆的半径最小.
抛物线的定义.
本题考查抛物线的定义和标准方程,圆的面积最小的条件是圆的半径最小.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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英语翻译
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