题目

已知P是△ABC所在平面外一点,PA⊥BC,PB⊥AC 求证：PC⊥AB

提问时间：2021-01-31

答案

证明：
作AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,垂心为O
∵PA⊥BC,AD⊥BC
PA∩AD=A
PA∈平面PAD
PD∈平面PAD
∴BC⊥平面PAD
∵PO∈平面PAD
∴BC⊥PO
同理：AC⊥PO
∵BC∩AC=C
BC∈平面ABC
AC∈平面ABC
∵PO⊥平面ABC
∵AB∈平面ABC
∴PO⊥AB
∵CF⊥AB
PO∩CF=O
PO∈平面PCF
CF∈平面PCF
∴AB⊥平面PCF
∵PC∈平面PBF
∴PC⊥AB