题目

已知一族集合A1,A2,……,An具有性质： （1）每个Ai含有30个元素； （2）对每一对i、j：1≤i＜j≤n,Ai
已知一族集合A1,A2,……,An具有性质：
（1）每个Ai含有30个元素；
（2）对每一对i、j：1≤i＜j≤n,Ai∩Aj都是单元集；
（3）A1∩A2∩……∩An＝空集
我在网上搜到了答案http://zhidao.baidu.com/question/313477621.html这个勉强能看懂,但第一步的用反证法证明含有相同元素的集合有30个,如何用反证法证明求解释

提问时间：2021-01-30

答案

可以假设对Ai,A(i+1),…A(i+k)这(k+1)个集合彼此的交集都为同一元素a(即a是它们的公共元素),那么按性质3,当k最大时,a就不能出现在其他集合中.再结合性质2,不在该子族的另外的集合至少有k+1个元素,故有30≥k+1,所以k的最大值为29,也就是含有相同元素的集合至多有30.
为了使n最大,不妨假设这n个集合中恰好有30个含有相同元素的集合,去掉相同元素a后,这30个集合中每个集合都有29个元素,而其他集合中含有的与上述30个集合相同的元素的最多有29*29(理由就是前面证明的定理,注意由于已经有一个元素在前述的30个集合中了,所以含有相同元素的集合变为29,考虑性质2的制约,故对于不在前述的30个集合之内的集合应有29^2个)加上前面的30个,共有841+30=871.
以上的方法是正面进攻,反面进攻.
假设有K(K>30)个含有相同元素的集合,那么对于第K+1个集合而言,它一定含有前K个集合中的元素,即其元素总数大于30,与性质一矛盾.